A curva que melhor descreve os dados

A terceira lista tem 5 questões que vou rapidamente descrever. Digo rapidamente porque não me vou deter em grandes detalhes no aguardo que você entre em contacto para tirar alguma dúvida. Mas acho que apenas um tópico na lista poderá lhe dar algum trabalho, curvas que melhor descrevem os dados, as fitting curves.
Todas as questões se baseiam numa mesma história, enredo. Claro que esta palavra, enredo, não é comumente ligada ao ensino de Matemática.
Um comerciante lida com dois produtos que tem preços diferentes e aceitação diferente pelos compradores. Como encontrar a melhor composição do seu estoque para otimizar o rendimento
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Esta é uma classe de problema que se repete e a lista vai oferecer algumas tecnologias apropriadas para este tipo de problema.
  1. A desiguladade na primeira questão controla o estoque dos produtos. Ela não resolve a questão de que quantidades devem ser compradas mas estabelece um região de solução adequada, descreve o espaço solução.
  2. Na segunda questão entram mais duas desigualdades que possivelmente você já terá pensado nelas na primeira questão.
    Com estas duas novas desiguldades o espaço solução se torna limitado, é um triângulo.
    Mas o importante é uma terceira expressão que surge de um "levantamento" entre os consumidores sobre a preferência dada aos produtos. Ela permite agora uma decisão sobre a composição do estoque.
    É importante compreender a diferença entre o espaço solução na primeira questão e como ele fica agora na segunda questão reduzido a um segmento de reta portanto apenas com dois pontos críticos.
  3. Na terceira questão vamos encontrar o método que permite determinar a preferência do consumidor traduzindo-a numa equação algébrica.
    Obviamente que a preferência do consumidor é difusa e não se pode transformar numa expressão algébrica, então existe uma curva - expressão algébrica - que melhor descreve esta preferência.
    Uma curva pode ser o gráfico de uma expressão algébrica, neste caso vai ser. Estamos procurando a curva que melhor traduz os dados obtidos pelo levantamento. A palavra inglesa fitting curve quer dizer isto.
    Quando um levantamento é feito, é muito raro conseguirmos como resultado uma equação algébrica que descreva os "pontos" obtidos. Mas é possível que haja uma curva que se adeque razoavelmente aos dados. É de um tal curva que estamos falando. Os gráficos devem ajudá-l@ a entender o que desejo dizer. No primeiro você tem um conjunto de pontos , observe que há seis pontos, obtidos com um levantamento. Neste outro gráfico, eu tracei uma curva passando pelos pontos obtidos no levantamento. Observe que a curva que eu pude traçar pelos pontos não é um segmento de reta, mas existe um "melhor" segmento de reta que passa entre estes pontos.
    Não se esqueça que programação linear é um capítulo de otimização que é a disciplina em que estamos procurando encontrar as melhores soluções dentre várias que possam existir. Também o "melhor" depende do contexto.
    Procure entender a afirmação:

    Embora não seja possível fazer passar um segmento de reta por estes pontos, é melhor consideramos a reta que fique melhor situada entre eles. Porque para retas nós poderemos encontrar uma equação e depois podemos usar esta equação, por exemplo, num programa de computador. Isto ainda se chama modelagem, neste caso é uma interpolação linear dos dados.
    Então me interessa a reta que melhor se adapte a este conjunto de pontos.
    Quero ver como você conseguirá resolver esta questão. Depois vamos discutir técnicas para obter esta "melhor curva".
    1. Podemos identificar um conjunto de pontos expalhados no plano.
    2. Fiz passar uma curva que aparentemente fica acompanhando os pontos mais ou menos "centrada" acompanhando os pontos.
    3. Se houver um tal comportamento dos pontos obtidos, podemos encontrar uma curva que melhor se adequem a estes dados.
    Na questão 3 há uma reta que melhor se adequa aos dados. Nem sempre será um reta, e aqui os métodos do Cálculo Numérico repondem muito bem a esta questão.
    Há dois métodos que você deve ter estudado em Cálculo Numérico para tratar destas questões
    1. Polinômio de Lagrange
    2. Aproximação Polinomial por pedaços - quase-splines ou splines
    Mas a primeira tentativa é de verificar se há uma reta que melhor se adeque aos dados, neste caso dizemos que há uma correlação linear entre os dados. É o que acontece na questão 3.
  4. Aqui havia um erro de numeração que já foi corrigido na segunda edição da lista 03. Espero que voce o tenha notado.
    Na quarta questao aparece mais uma relacao expressando preferências de consumidores. Você devera indicar qual é a desigualdade que a define e depois o "levantamento" que corresponde a esta preferencia.
  5. Na versão errada da lista 03 havia uma sexta questão na verdade é a quinta. Isto já foi corrigido. Nela você é convidado a identificar regiões do plano que traduzem as relações (desigualdades) que descrevem as preferências.
    Os pontos de risco são aqueles que se encontram na fronteira da região que se identificada como conjunto solução do problema. Em geral se valorizam mais os vértices mas todos os pontos que se encontram sobre qualquer um dos lados que delimitam a região-solução, podem representar pontos de risco - qualquer erro nos cáculos pode conduzir a uma saída da região solução.
Aguardo suas dúvidas.